Szivós Márton a KSI-ben kezdett el a vízilabdázni, majd a Honvéd játékosa lett. Egy szezont külföldön, Olaszországban játszott, a Pro Recco csapatában. A légiós élet után, 2012 májusában az A Híd Szeged játékosa lett, majd két szezont követően Egerbe tette át székhelyét.

Egerből szintén két idény után távozott, visszatért a fővárosba, a Budapest Honvéd együtteséhez. A Magyar Vízilabda Válogatottnak 2003 és 2016 között folyamatosan meghatározó játékosa volt, számos egyéni- és csapatban elért díjak bizonyítják, hogy Marci a magyar vízilabdázás egyik meghatározó alakja. 2013-ban, Barcelonában világbajnoki címet szerzett a Magyar Válogatott tagjaként, ezen felül kétszeres világbajnoki- és Európa-bajnoki ezüstérmesnek vallhatja magát.

A 2020–2021-es szezontól immáron vezetőedzőként dolgozik a Budapest Honvéd-nál.

Marci, sport iránti alázata, valamint a környezetvédelem- és a fenntarthatóság irányába való elköteleződése által hiteles zöld nagykövete lesz a Climate Action-nek.